干完这7道题，包你学会从对数幅频特性曲线图中求开环增益K！

发表自话题：k曲线怎么看

大家好，我是宝刀君~

自动控制原理这门课，学生在学习频域分析时，常常会碰见这样的题：根据对数幅频特性曲线，反回去确定系统的开环传递函数。

这里面问的最多的就是开环增益K怎么求，今天宝刀君就给大家整理一下常见的开环增益K的求解方法。

我先给出一道课本上的例题，随后再给出6道课后题，基本上这些题全部掌握弄懂后，求K的手法你也就会了。

▼1 例题

注意：上面图中的那个w=8是截止频率。

好多学生在看这个解答过程时，蹦出来的2个疑问是：

1、为什么K=w0^2？

2、w0怎么求呀？

先回答第一个问题。

其实对数幅频特性曲线图里面有个规律，低频段对数幅频特性曲线延长交于0db线，则交点频率w0=K^(1/v)，v为系统型别。

而本题低频的斜率是-40，说明是2型，第一问解答完毕。

至于第二问，编辑器实在是不好打公式啊，我还是放图吧。

看图的同学注意啦！

上图中的w=2对应的那段高度，我既可以看作是斜率为-40那段线上的，也可以看作是斜率为-20上的，不管是哪一段，高度是一样的，那么这个高度怎么度量呢？

斜率乘上末端点减去斜率乘上初始端点，即“末减初”，当然你要是采用初减末也可以，只不过两边要统一。

上面这个根据等高的距离列式子的方法是最常见最常用的，当初宝刀君在学习这块时也是百思不得其解，痛苦的不得了啊！

后来就泡图书馆反复寻找解决方案，最终在胡寿松老前辈的书籍中看到了这种解法！

自从学会后，荣誉感暴增，在班里给同学（尤其是女生）答疑时，那自豪感啊，真是无法形容啊~

这一招你今天要是学会了，在后期的校正环节中求某点的频率值时会经常用到。

▼2 课后题

下面再给出卢老师书上有关这部分内容的课后题，供大家自行练习。

参考答案里直接给出了a的答案：

然而平时辅导过程中，那个k=100，好多学生也是不甚明白，事实上，可以参考下面的求解办法：

永远不要忘了，Bode幅频图的纵坐标是20lgA(w)，这个A(w)代表的某一频率下的幅值，上面的解法，纯粹是按定义来做的。

再看图B，参考答案是：

这个题K的求法和上面给出的例题一致，即：

下面看图C。

图c的求K解答过程中，抓住了关键点！

即w=2时，对应的为0db线，依据这个可以很方便的按照 bode 图绘制的定义列式子。

在求w=2的模值过程中，用到了之前讲解的近似法求解截止频率的手法，即舍弃式子中影响整体值大小的较小者，保留影响整体值大小的较大者，这其实也是高数里面放缩法的思想。

关于近似法求截止频率，宝刀君在昨天的文章中分析过，想深入了解的可以戳以下链接：厉害了，Word近似法！求截止频率竟然这么快！

紧接着看图D，参考答案为：

d的解答和c类似，也是找的关键点，图中已经标明w=0.1处的对数幅值，那么按定义做即可。

图e。

这个解答就比较高级了，用到了谐振峰值的概念。

谐振频率是45.3，谐振峰值取对数后，为4.58dB，那么按照谐振峰值相关的公式计算二阶振荡环节的参数即可，而K的话，根据图可以一眼看出来是100，低频为1型，交点是100，因此K=100。

最后，看f图，参考答案如下：

注意在求解第一个转折频率w1的过程中，那段高度是已知的，是20，因此他直接列写了我上面的那种解法。

而在求w2的过程中，依然可以用我们前面介绍的万能的根据等高距离列式子法。

这道题结束了吗？？？

不知你有木有这样的疑问？

由斜率正的40变成0，说明减了40，既然是减去40，那这个环节要么是二阶震荡，要么是两个惯性环节，参考答案凭什么啥也不说就给我将这个环节定成2个惯性环节？

凭什么？

哎呀，这个问题问的太好了！

如果有这种疑问的同学，真的是发现问题小能手啊！

宝刀君给你一个大大的赞！

原因呢，宝刀君在之前的文章2个惯性环节相乘=1个全部阻尼范围下的二阶振荡环节？ 分析过，给出的结论是：两个惯性环节的相乘只能等效成阻尼大于等于1范围下的二阶震荡环节。对应到bode图幅频特性曲线中，肯定是不会有谐振峰值，因为谐振峰值出现的条件是：阻尼范围是0到0.707。

那现在回过图来看一下图f，在w2处没有谐振峰值啊，谐振峰值出现时，对应的会有尖峰出现，比如说图e或者图f的前半段。

另一方面，根据惯性环节对数幅频特性曲线的渐近线和精确曲线可知，最大幅值误差出现在转折频率处，误差值等于-3dB。

上面这话不是我先发现的，我没那么大能耐，这是课本的原话：

那你再回去看看 f 图，由20dB降到14dB，恰恰是6dB啊！

这数字，真巧！

刚好是2个惯性环节的误差值，而且在那里还没有谐振峰值，嗯，这个环节确定了，就是你啦！

2个惯性环节相乘！

▼3 总结

最后，我们来总结下求开环增益K的求法吧，宝刀君替你整理好了，如下：

总之，前2条是规律，看到图就能用，第3条需要根据图的信息，就像上面那几个课后题一样去列式子来求解，求模运算复杂时，就可以用近似法（完）

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关于：考研摆渡人宝刀君（BDJ0501）

工科自动化专业出身，

除了会 本专业 自动控制原理，

还钻研了下 考研数学

希望我分享的知识点对你的学习有帮助~

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