掌握这三“点”,绘制幅相频率特性曲线图 so easy!

首页 > 教育 > 正文 2021-06-04

发表自话题:k曲线怎么看

大家好,我是宝刀君,很高兴,我们又见面了~


如题,众所周知,幅相频率特性曲线图又叫奈奎斯特曲线奈氏曲线幅相特性,有些参考书上也叫极坐标图


不管说哪个,只要是提到绘制这些概念的,意思就是让你绘制下面形状的图:

在正式讲解幅相特性曲线图怎么画之前,我个人觉得有些基础知识点需要你在头脑中有个概念,回忆起当年学习自控时,好多人一时半会儿摸不到门的原因是对基本的概念不清。


基础知识点1

复数的幅值和相角的计算、共轭复数


复数这个知识点其实是复变函数里面讲的,就是说我们平时见到的任意一个数,其实都可以写成实部+虚部的形式,平时我们见到的大部分数都是实数。


百度百科的解释:




复数的模的计算:根号下实部的平方加虚部的平方。


共轭复数就是实部一样,虚部互为相反数的复数。



一个复数和它的共轭复数相乘,产生的结果就变成实数了,有点像数学公式里的平方差公式,因为 i 的平方等于 -1 嘛,所以第二项就为正的了。


除了以上概念,我们还要明白:复数的实部、虚部与它的模值、角度之间的关系式



由上面的公式可以看出,实部是模值与余弦函数相乘得到的,假如这个角度为0,那么这个复数整体就只有实部,就是我们常见的实数。


如果角度为90度,那么就只有虚部


或许有同学会问,那这个角度怎么求啊?


给你一个复数,虚部除以实部就是这个角度的正切函数啊!所以你只需要一个灵巧的计算器计算下它的反正切就知道角度了呢~


因此,如果知道了模值、角度,我们就可以很轻松的写出这个复数的指数形式。


基础知识点2

开环传递函数的幅值和相角的计算


明白了上面有关复数的概念,接下来我们谈谈频率域中的开环传递函数 G(jw) 的模值和角度的计算,如下图所示:

计算模值时,把每一个小环节的模值表达式写出来,然后依次序乘在一起即可。


相角呢,角度怎么计算?


还是之前说的,整体的角度等于分子的角度减去分母的角度,这个在之前发的文章[深度]详解根轨迹的8大规则中讲解的如何巧妙计算起始角和终止角的思路一致,都是分子角-分母角、或者叫零点角-极点角(我自创的刀法,我自己经常这样叫,现在传授给你)

哈哈哈,这样叫是不是很有意思啊~就像有些学生做不定积分/定积分时,看到那个不定积分的符号,长得像S,做题之前都要先大喊一声:Shit!

下面,我对上面这个总结做个说明解释。


第一,起点


起点,也就是w=0时的起始的地方,由开环增益K和系统型别决定


开环增益K是从幅值(模值)的角度,确定了你落在实轴上的哪一块,也就是起始的位置。


系统型别v,则是从相频的角度,决定了你起始时的姿态或者说角度,这个角度是-90*v。


比如说,你是1型,那你这个图就要从第三象限那里开始画(-90度),2型,就要从靠近负实轴的第二象限或者第三象限那里开始画(-180度)。


书上整理了常见的系统型别的起始位置,如下:

第二,终点


终点的位置毋庸置疑,就是在原点处,进入原点的角度由 n-m 来确定,n 代表分母的最高阶数,m 代表分子的最高阶数。


你想啊,由于分母的阶数始终比分子的阶数高,因此它求这个模值时,w趋于无穷时,分母始终比分子大啊!那么它最终一定是回到了原点处。


(n-m)确定了它进入原点时的姿态


那到底是以-90的姿态回去呢?还是以-270度的姿态回去?这取决于你分母与分子的最高阶数差。


写到这里,宝刀君突然觉得这还有点像古代官员们的衣锦还乡。


出生时,有些人起点高,有些人起点低,但这都不是最关键的,最关键的还是这一辈子的持续的努力学习


越坚持学习,越努力,分母的阶数(现在)和分子的阶数(过去)的差别就越来越大。等到年龄大了,辞去一切事务,以高姿态的形式(角度)淡然的回到自己儿时的农庄田园(原点),这样的人生历程,是我的向往~


不知不觉,又写了一段浓浓的鸡汤,鼓舞着电脑前辛苦码字为明日生计发愁的宝刀君,激励着手机屏幕前阅读的漂亮的你~


第三,特殊点


所谓特殊点,就是指Nyquist图与实轴或者虚轴的交点


最常见的就是计算与负实轴是否有交点,这个怎么计算呢?


拿什么来计算,就看这一点具有什么样的特征。从模值的角度来看,此时虚部为0,从相角来看,此时的角度是-π。


负实轴有交点时的这个频率称为相角交接频率,也叫穿越频率,记为Wg或者Wx


因此,你要么像计算根轨迹与虚轴的交点那样去计算,要么就是借助角度来计算,我推荐用代数方法计算,简单高效!


明白了以上对幅相特性曲线图的分析,那我们就可以很轻松的整理出如下的解题步骤:

注意,我上面整理的解题步骤是针对不含复数极点的。也就是说分母上不会出现(s^2+a^2)这种,若出现这种环节,极点是复数,绘图时略微复杂,需要计算a+、a-、a之间的角度,今日本文暂且不予讨论,后期再做专题分析。


下面,咱们一起来做道题吧,在做题中领悟上面的思想,沙场秋点兵,走起~

这道题对应的参考答案就是本文开始时的第一张图,即

现在呢,你可以对比下我和书上的解题步骤,当然,你要是自己也做了,也可以一起来对比。


宝刀君我的解法比较中规中矩,其实那就是初学者在学习时列写的步骤,先写G(jw),然后写其模值表达式和相角φ(jw)的表达式,如果你练熟了,就可以直接写出参考答案的那种形式,只不过它这种写法不容易分析相角的变化。


相角就是分子角减去分母角,这里经常会用到反正切函数的和差公式,希望大家用心记住这个公式,顺带着,也记下反正切函数的图像,函数值与自变量成正比。

对于没有复数极点、全部由最小相角系统(如果不懂什么是最小或非最小相角系统,可以点击以下链接:哟!好你个非最小相角系统,我竟然没从Bode图中发现你!)组成的开环传递函数而言(要求n>m),绘制幅相特性曲线图时,主要关心三点:起点、终点和特殊点

对于起点,也就是 w 趋于0时,如果型别是0型,那么就把初始值w=0带进去计算幅值即可,角度就是0度,如果是1型以上(含1型),那么初始的幅值就是无穷远,角度为-90*v。


对于终点,也就是 w 趋于无穷大时,幅值为0,也就是它要回到原点,进入原点时的角度是-90*(n-m)。


对于特殊点,主要是计算是否与实轴虚轴相交,相交时,可以利用实部或者虚部为0解出频率w值。


另外,函数曲线在绘制的过程中,本来频率就是自变量,那么画Nyquist图其实跟数学里画函数图像一样,性态方面讲究单调性,可以对 G(w) 或者 φ(w) 求导,得到极值点,进一步确定其曲线性态。


夜已深,星已亮,抬起头,浮现的不仅仅是风云里猪皇对聂风传授创刀的情形耳畔萦绕的还有单曲循环的星爷电影凌凌漆中的音乐李香兰,献给大家,希望大家能够喜欢哦(完)



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关于:考研摆渡人宝刀君(BDJ0501)

工科自动化专业出身,

除了会 本专业 自动控制原理,

还钻研了下 考研数学


文章风格:有料、有趣、有深度


希望我分享的知识点对你的学习有帮助~

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