债券的即期收益率，到期收益率，远期收益率有什么区别？

即期收益率的英文名称是Spot rate，到期收益率的英文名称是Yield to Maturity（简写YTM），远期收益率的英文名称是Forward rate。

在了解这个问题之前，我们先来了解一下平均收益率和零息债券的概念。

收益率的计算公式：

收益率=（期末价格-期初价格）/期初价格

我们分开计算：

第一年的收益率=（200-100）/100=100%；

第一年的收益率是100%，盈利；

第二年的收益率=（100-200）/200=-50%；

第二年的收益率是-50%，亏损；

那么平均收益率该怎么算呢，一般人可能会把这两个收益率加起来除以二：

[100%+（-50%）]/2=25%；

也就是说平均收益率有25%，基友一看，那好，你基金经理把25%的收益率给我，我投了100万，你把25万给我。

你一看，期初管理了100万的基金规模，两年后还是100万的基金规模，并没有多出的25万给基友啊，那这平均收益率难道错了吗？

其实不是平均收益率错了，而是你选用计算平均收益率的方式错了。

计算平均数，有两种方式，一种是算数平均数，还有一种是几何平均数。
算数平均数就是我们上面求均值的方式，也是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，是加权计算的，每个数据之间不具有相互影响关系，是独立存在的。

比如你是手机店的销售员，星期一你卖了10部手机，星期二你卖了8部手机，星期三你卖了9部手机，星期四你买了11部手机，星期五你卖了12部手机，那么这一周你平均每天卖的手机数是：

（10+8+9+11+12）/5=10；

你平均每天卖10部手机。

那么，什么是几何平均数呢？

几何平均数是指n个观察值连续乘积的n次方根，这么说好像不太好理解，我们接着举卖手机的例子：

比如你是手机店的销售员，上个星期平均每天卖了10部手机，这个星期你的经理给你布置了新的任务指标：星期一在上个星期的基础上要增加10%的量，星期二在星期一的基础上再增加12%的量，星期三在星期二的基础上再增加8%的量，星期四在星期三的基础上再增加11%的量，星期五在星期四的基础上再增加9%的量。

那么，我们分开来计算每天要卖几台手机：

星期一：=10X（1+10%）=11；

星期二：=11X（1+12%）=12.32；

星期三：=12.32X（1+8%）=13.31；

星期四：=13.31X（1+11%）=14.77；

星期五：=14.77X（1+9%）=16.1；

或者我们可以一步计算：
星期五：=10X1.1X1.12X1.08X1.11X1.09=16.1；

星期一到星期五的增长率就是：

（16.1-10）/10=61%；

既然是求平均率，那么每个时间段的增长率都是相等的，即：

（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）=（1+61%）；

r=10%；

手机销售的日平均增长率是10%；

介绍完了算术平均数和几何平均数的概念，我们再来看这篇答案开篇的那个例子：

如果你是一个基金经理，管理着一支基金，规模是100万元，今年行情好，到年底的时候涨到了200万元；然而第二年行情很差，又跌回了100万元，请问这支基金在这两年内的平均收益率是多少？

我们还是分别算出第一年和第二年的期间收益率：

第一年的收益率=（200-100）/100=100%；

第一年的收益率是100%，盈利；

第二年的收益率=（100-200）/200=-50%；

第二年的收益率是-50%，亏损；

这里我们不能用算数平均数的方法计算，而应该用几何平均数的方法计算：

（1+r）（1+r）=(1+100%)(1-50%)；
r=0；

几何平均数算出来的平均收益率是0%，也就是这两年没涨没跌，符合实际情况，100万元的基金规模在两年后还是100万元。

有些基金公司对外宣称的平均收益率，都是算数平均收益率，这是不符合行业规范的，因为在算数平均收益率的计算下，如果第一年行情火爆，基金收益翻了好几倍，即使后面几年连续亏损，计算出来的也依然是正的收益率，按照规定，应该算几何平均收益率。

一般情况下，几何平均数的值要小于算数平均数的值，只有当期间值相等时，几何平均数才等于算数平均数。

以上文章内容搬运自我在这篇题目下写的答案：

为什么在金融领域，用几何平均来代替算术平均更为严谨？这两个平均数有什么本质上的不同吗？

以上就是算数平均数和几何平均数的介绍，下面我们再来介绍一下零息债券。

所谓零息债券，指的是以贴现方式发行，不附息票，而于到期日按时按面值一次性支付本利的债券。

那么零息利率，自然指的就是从当前时点开始至未来某一时点的利率，零息利率也称即期利率。

比如政府发行了一支债券，面值是100元，发行购买价是97.09元，期间不付息，一年期满后一次性给你付100元，那么这支债券的零息利率是多少呢？

97.09X（1+r）=100；

r=3%；

这个利率是这一年的持有期收益率，同时也是即期利率。

如果政府发行的是一支两年期的债券，面值是100元，发行购买价是92.46元，期间不付息，两年期满后一次性给你付100元，那么这支债券的即期利率是多少呢？

92.46X（1+r）（1+r）=100；

r=4%；

这个利率其实是个几何平均收益率，同时也是两年期的即期利率。

下面，我们引出远期利率的概念：

所谓远期利率，即从未来某一时点到另一时点的利率。

之前讲算数平均数和几何平均数的概念时，我们举过基金收益率的例子，第一年的收益率是100%，第二年的收益率是-50%，其实你可以这样理解：

第二年的远期收益率，是站在现在时点看，第一年末尾的下一年的收益率。

比如我现在零时点，下一年的收益率是100%，但是在下一年末尾的再下一年的收益率是-50%，这个-50%的收益率就是远期收益率，标记为:

f(1,1)

那么，站在零时点，下一年的收益率是100%，这个收益率既是一年期的即期收益率，也是站在零时点下一年的远期收益率。

那么，两年期的即期收益率怎么求呢？我们设一年期的即期收益率为r，两年期的即期收益率为R，远期利率为f(1,1)：

（1+R）(1+R)=（1+r）[1+f(1,1)]；

（1+R）(1+R)=（1+100%）（1-50%）

R=0；

我们算出，两年期的即期收益率是0，如果你提早知道这支基金是0的收益率，那你肯定不会去买，这个例子只是为了方便大家理解，而不具有实际意义，因为股票型基金的收益率是不确定的，所以才会出现今年翻倍、明年亏损一半的情况。

我们计算即期利率和远期利率，都是针对固定收益产品计算的，通常来说，指的就是债券类的产品。

我们再回到前文政府发债的那个例子：

97.09X（1+r）=100；
r=3%；

这个利率是这一年的持有期收益率，同时也是即期利率。

如果政府发行的是一支两年期的债券，面值是100元，发行购买价是92.46元，期间不付息，两年期满后一次性给你100元，那么这支债券的两年期即期利率是多少呢？

92.46X（1+r）（1+r）=100；

r=4%；

这个利率其实是个几何平均收益率，同时也是两年期的即期利率。

现在，我们可以计算这支债券的远期利率f(1,1)：

（1+4%）（1+4%）=（1+3%）[1+f(1,1)];

f(1,1)=5.01%；

也就是说，这支债券一年期的即期利率是3%，两年期的即期利率是4%；站在现在看，一年后的下一年的利率是5.01%，也就是远期利率f(1,1)；两年期的即期利率是求出的几何平均收益率，通过一年期的即期利率和远期利率乘积后开方所得。

可以看出，如果两年期的即期利率大于一年期的即期利率，那么远期利率f(1,1)必然大于两年期的即期利率，因为两年期的即期利率是几何平均收益率，肯定会介于一年期的即期利率和远期利率f(1,1)之间。

以上就是对即期收益率和远期收益率的介绍，数学计算虽然较多，但是前后承接还是比较有条理的，如果大家看完没有理解，建议多看几遍，待完全吃透了再看下面的内容。

介绍完了即期收益率和远期收益率，我们再来看到期收益率。

前面介绍了零息债券的利率，并不是只有零息债券才能用零息利率，实际上大多数债券都是付息债券，零息利率（即期利率）只是一种表示形式，就跟一标准大气压是760mm 汞柱 一样。

我们接下来看这个例子：

政府发行了一支面值1000元，年付息5%的债券，三年到期。假设一年期的即期利率是3%，两年期的即期利率是4%，三年期的即期利率是5%，那么现在的售价应该是多少？

面值1000元的债券，年付息5%，那么每年的息票收入：

=1000X5%=50；

由于是分三年付息，所以，如果要计算今天的价格，应该把三年收到的现金加总求和。

注意：最后一年还要加上1000元面值：

把每年的现金收入折回到零时点：

第一年：=50/1.03=48.54；

第二年：=50/（1.04*1.04）=46.23；

第三年：=（50+1000）/（1.05*1.05*1.05）=907.03；

总和=48.54+46.23+907.03=1001.8；

或者我们可以一步计算：

50/1.03+50/（1.04*1.04）+（50+1000）/（1.05*1.05*1.05）=1001.8；

也就是说，这支债券现在应该卖1001.8元才合理，卖高卖低都有套利空间。

那么，如果我们现在就知道了该债券的出售价格，而不知道每年的即期利率，那我们能算出一个“标准化”的利率来代表该债券的收益率吗？

我们设这个“标准化”的利率就为“YTM”；

50/（1+YTM）+50/[（1+YTM）（1+YTM）]+（50+1000）/[（1+YTM）（1+YTM）（1+YTM）]=1001.8；

计算YTM要用财务计算器，计算得出：

YTM=4.93%；

4.93%即期利率>到期收益率；

这是一个很重要的结论，我们在研究固定收益产品时，经常会用到这个结论。

以上就是我对即期收益率、到期收益率、远期利率的介绍，希望能为大家的理解提供一点帮助。

-

--

公众号：呵呵的小书屋

-

如有疑问，欢迎来我公众号提问