为什么股票价格不服从对数正态分布？

发表自话题：收益率曲线的特点

一、正态分布的特征：

图1为英国生物统计学家高尔顿专门设计用来演示正态分布曲线及其特征的实验模型，通常称为高尔顿板（Galton Board）。

高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的钉子，钉子之间的距离彼此相等，呈三角形排列，上一层每一颗钉子的位置恰好位于下一层两颗钉子的正中间。

当小球从最上方的入口落下时，小球每次碰到钉子后向左、右两个方向落下的概率各为50%，直到最后落入底部的一个格子内。把大量小球逐个从入口处放下，只要高尔顿板的面积足够大、钉子数量足够多，落在格子内的小球将形成与正态分布曲线相似的中间高、两边低的钟形曲线。

从高尔顿板实验结果可以看出，正态分布具有如下特点：

（1）对称性。落在原点左、右两侧的小球数量大致相等。

（2）集中性。大多数小球落在原点附近的格子内，高峰位于正中央的格子。

如果按照时间顺序依次画出每个小球落到底部的横向位移 图2 高尔顿板小球位移

二、股票价格日收益率：

图3为上证指数1998年-2020年的日收益率曲线，可以看出，上证指数的日收益率与图2所示的高尔顿板小球位移曲线相似，下一时刻收益率和小球位移的方向及大小是完全随机的，均可用白噪声时间函数进行描述。

将不同时刻的上证指数日收益率作为样本点进行统计分析，其均值为0.0002，标准差 图3 上证指数收益率（日）

三、几何布朗运动模型

Working、Kendall、Osborne、Samuelson和 Fama等人的实证研究结果也均表明：股票价格的短期收益率为白噪声序列。

设 图4 几何布朗运动随机过程

四、股票价格波动范围

图5为道琼斯工业平均指数的对数价格曲线，100多年来始终在固定宽度的线性通道范围内波动运行。股票价格可预测性证明从式（1）的时间函数模型出发，从理论上也证明了对数股票价格在线性通道内运行的结论。

如果股票价格服从对数正态分布，则 时刻对数股票价格 的方差为 ，表明 在 范围内波动的概率为99.73%，这表明对数股票价格 的波动范围会随时间 的平方根不断增大，与图4几何布朗运动样本轨道的扩散范围一致，与实际对数股票价格在固定宽度的线性通道内运行的事实完全不符。因此，实际股票价格的波动范围与几何布朗运动模型的波动范围完全不同。

五、波动率的本质含义

期权定价理论首先假设股票价格服从对数正态分布，然后将（3）几何布朗运动模型的参数 定义为波动率，并用 来度量股票价格 的波动程度。

（1）标准差是用来度量随机变量样本总体偏离均值程度的数字特征。

（2）波动率 实质上是图3所示股票价格 日收益率的标准差，反映了股票价格在某一区间的日收益率偏离均值的程度。

（3）方差 是度量图4所示 （大量样本轨道）偏离均值程度的统计参数，不能用来度量一条样本轨道的波动程度。

六、结论

股票价格服从对数正态分布的结论是基于股票价格为随机变量的假设推导出来的，《为什么股票价格不是随机变量？》和《反证法证明股票价格不是随机变量》两篇文章已分别用随机过程的定义和反证法证明了股票价格不是随机变量，而是非平稳随机过程的一条样本轨道，因此，股票价格不服从对数正态分布。

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